まずは圏論における各種の位相と対象の性質について、複数の条件が絡むものを一つ一つ分解して厳密に定義する。抽象的な定義の後に、直観的解説や具体例を付記する。
圏 $\mathcal{C}$ における対象 $X \in \mathrm{Ob}(\mathcal{C})$ 上のふるい (sieve) $S$ とは、$X$ を余域 (codomain) とする射の集合であって、右からの射の合成について閉じているものをいう。
すなわち、$f \in S$ であり、かつ $\mathrm{codom}(g) = \mathrm{dom}(f)$ を満たす圏 $\mathcal{C}$ の任意の射 $g$ に対して、合成射 $f \circ g \in S$ が常に成り立つことである。
ある対象 $X$ に向かう任意の射の族 $\{f_i : X_i \to X\}_{i \in I}$ が与えられたとき、これらと他の任意の射を合成して得られるすべての射の集合
$$S = \{ f_i \circ g \mid i \in I, \mathrm{codom}(g) = X_i \}$$
は、$X$ 上のふるいとなる。これを「与えられた族によって生成されるふるい」と呼ぶ。また、$X$ を余域とするすべての射からなる最大のふるい $t_X = \{ f \in \mathrm{Mor}(\mathcal{C}) \mid \mathrm{codom}(f) = X \}$ は、$X$ 上の恒等射 $id_X$ の単元族 $\{id_X\}$ によって生成されるふるいである。
圏 $\mathcal{C}$ 上のGrothendieck位相 (Grothendieck topology) $J$ とは、各対象 $X \in \mathrm{Ob}(\mathcal{C})$ に対して、$X$ 上の特定のふるいの集合 $J(X)$ （この元を「被覆ふるい」と呼ぶ）を割り当てる写像であり、以下の3つの公理をすべて満たすものをいう。
Grothendieck位相が定まった圏 (サイト) において、前層が層 (sheaf) であるとは、任意の被覆ふるいに対する適合族 (matching family) について、一意な大域的元 (global section) が存在して貼り合わせ (gluing) が可能であることである。
Barr完全圏とは、代数学的あるいは幾何学的な「商 (quotient)」の振る舞いを厳密に抽象化した圏であり、以下の4つの条件をすべて満たす。
対象 $X$ に向かう射の族 $\{f_i : X_i \to X\}_{i \in I}$ が結合的に全射 (jointly surjective) であるとは、これらの射が共通して経由するような $X$ の真の部分対象 (proper subobject) が存在しないことをいう。すなわち、任意のモノ射 $m: M \hookrightarrow X$ に対して、すべての $i \in I$ について $f_i$ が $m$ を経由して分解される ($f_i = m \circ g_i$ となる) ならば、$m$ は同型射でなければならない。
有限余極限 (finite colimit) を持つBarr完全圏においては、この概念を用いてコヒーレント位相 (coherent topology) $J_{coh}$ が定義される。対象 $X$ 上のふるい $S$ がコヒーレント位相 $J_{coh}(X)$ に属するための必要十分条件は、$S$ が有限個の射の族 $\{f_i : X_i \to X\}_{i=1}^n$ を含み、その有限族が結合的に全射となることである。
(※有限余極限が存在する場合、有限族が結合的に全射であることは、誘導される単一の余極限射 (コプロダクト射) $\coprod_{i=1}^n f_i : \coprod_{i=1}^n X_i \to X$ が正則エピ射となることと同値である。)
圏 $\mathcal{C}$ における対象 $X \in \mathrm{Ob}(\mathcal{C})$ がコンパクト (compact) であるとは、$X$ を余域とする任意の結合全射 (joint surjection) の族に対して、それを有限個の射で置き換えても依然として結合全射を保つことができる性質をいう。
厳密には、$X$ に向かう任意の結合的に全射な射の族 $S = \{f_i : X_i \to X\}_{i \in I}$ が与えられたとき、必ずある有限の部分集合 $F \subset I$ が存在して、その部分族 $\{f_i\}_{i \in F}$ だけで既に結合的に全射 (jointly surjective) となることである。
本節では、定義したコヒーレント位相が実際にGrothendieck位相の公理を満たすことを、一切の省略なく厳密に証明する。
有限余極限を持つBarr完全圏 $\mathcal{C}$ におけるコヒーレント位相 $J_{coh}$ は、Grothendieck位相である。
証明:
Grothendieck位相の3つの公理を満たすことを順番に確認する。
1. 極大性 (maximality):
任意の対象 $X$ における最大のふるい $t_X$ は、すべての射を含むため、恒等射 $id_X : X \to X$ を含む。単元族 $\{id_X\}$ は明らかに有限族であり、そこから誘導されるコプロダクト射は $id_X$ 自身となる。圏 $\mathcal{C}$ において、恒等射 $id_X$ は平行な射の対 $(id_X, id_X)$ の余等化子となるため正則エピ射である。正則エピ射は明らかに結合的に全射であるため、コヒーレント位相の定義を満たし $t_X \in J_{coh}(X)$ が成り立つ。
2. 安定性 (stability under base change):
$S \in J_{coh}(X)$ とし、任意の射 $g : Y \to X$ をとる。コヒーレント位相の定義より、$S$ にはコプロダクト射 $\coprod_{i=1}^n f_i : \coprod_{i=1}^n X_i \to X$ が正則エピ射となる有限族 $\{f_i\}_{i=1}^n$ が含まれる。$\mathcal{C}$ は有限極限を持つため、各 $f_i$ と $g$ の引き戻し (ファイバー積) $p_i : X_i \times_X Y \to Y$ を構成できる。
有限余極限と有限極限が適切に振る舞うため、コプロダクト $\coprod_{i=1}^n X_i \to X$ の $g$ に沿った引き戻しは、引き戻しのコプロダクト $\coprod_{i=1}^n (X_i \times_X Y) \to Y$ と同型になる。Barr完全圏 (正則圏) において、正則エピ射の引き戻しは正則エピ射であるという公理があるため、この引き戻された新たなコプロダクト射 $\coprod_{i=1}^n p_i$ も正則エピ射である。誘導された有限族 $\{p_i\}$ の各射は引き戻しふるい $g^*S$ に含まれるため、$g^*S$ は正則エピ射を誘導する有限族を含む。よって $g^*S \in J_{coh}(Y)$ が成り立つ。
3. 推移性 (transitivity):
$S \in J_{coh}(X)$ であり、$S$ に含まれるすべての射 $f \in S$ に対して $f^*R \in J_{coh}(\mathrm{dom}(f))$ となるふるい $R$ を考える。$S \in J_{coh}(X)$ であるため、$S$ はコプロダクト射 $\coprod_{i=1}^n f_i : \coprod_{i=1}^n X_i \to X$ が正則エピ射となる有限族 $\{f_i\}_{i=1}^n$ を含む。
仮定より、各 $f_i$ に対して $(f_i)^*R \in J_{coh}(X_i)$ が成り立つ。したがって、各 $X_i$ において正則エピ射を誘導する有限族 $\{g_{ij} : Z_{ij} \to X_i\}_{j=1}^{m_i} \subset (f_i)^*R$ が存在する。ふるいの定義から、これらの合成射 $f_i \circ g_{ij}$ はすべて $R$ に属する。
正則圏において、正則エピ射の合成は再び正則エピ射となる。したがって、有限余極限から誘導される合成射
$$\coprod_{i=1}^n \coprod_{j=1}^{m_i} Z_{ij} \xrightarrow{\coprod g_{ij}} \coprod_{i=1}^n X_i \xrightarrow{\coprod f_i} X$$
は、2つの正則エピ射の合成となるため、全体としても正則エピ射である。この有限族 $\{f_i \circ g_{ij}\}$ は有限個の射からなり、すべて $R$ に含まれる。すなわち、$R$ は正則エピ射を誘導する有限族 (結合的に全射な有限族) を含むことになり、$R \in J_{coh}(X)$ が成り立つ。
以上により、$J_{coh}$ はGrothendieck位相の公理をすべて満たす。証明終
次に、コヒーレント位相において、対象の $\mathrm{Hom}$ 関手が正しく「層」の条件を満たすことを証明する。これはBarr完全圏における「余等化子」の性質と直結している。
有限余極限を持つBarr完全圏におけるコヒーレント位相 $J_{coh}$ は、劣カノニカル位相である。
証明:
任意の対象 $Z \in \mathrm{Ob}(\mathcal{C})$ に対し、表現可能前層 $h_Z = \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(-, Z)$ が $J_{coh}$ に関して層になることを証明する。
Barr完全圏の極めて重要な性質として、任意の正則エピ射 $p: U \to X$ は、自身の核対 (kernel pair) $U \times_X U \rightrightarrows U$ の余等化子 (coequalizer) となる。ここで、共変関手 $\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(-, Z) : \mathcal{C}^{op} \to \mathrm{Set}$ は、$\mathcal{C}$ における余極限 (この場合は余等化子) を、$\mathrm{Set}$ における極限 (この場合は等化子) に反変に変換するという普遍的な性質を持つ。したがって、以下の図式は集合の圏 $\mathrm{Set}$ における等化子 (equalizer) の完全系列となる。
$$\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(X, Z) \to \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(U, Z) \rightrightarrows \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(U \times_X U, Z)$$
これは、$h_Z$ が単一の正則エピ射 $p$ による被覆に関して層条件を満たす (すなわち、$U$ 上で定義され、$U \times_X U$ への2つの引き戻しが一致するような元、つまり適合族に対して、$X$ 上のただ1つの大域的元が一意に定まる) ことを意味している。
コヒーレント位相における被覆ふるい $S \in J_{coh}(X)$ は、定義より、コプロダクト射 $p = \coprod_{i=1}^n f_i : \coprod_{i=1}^n X_i \to X$ が正則エピ射となる有限族 $\{f_i\}_{i=1}^n$ を含む。表現可能関手 $\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(-, Z)$ は余極限 (コプロダクト) を極限 (直積) に変換するため、以下の自然な同型が成り立つ。
$$\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}\left(\coprod_{i=1}^n X_i, Z\right) \cong \prod_{i=1}^n \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(X_i, Z)$$
この結果を上記の等化子図式における $U = \coprod_{i=1}^n X_i$ に適用する。すると、$\prod_{i=1}^n \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(X_i, Z)$ の元であって、核対への引き戻しが一致するもの (これはまさに被覆族 $\{f_i\}$ に対する層の適合条件に他ならない) に対して、$\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(X, Z)$ に一意な大域的元が存在することが直ちに従う。
被覆ふるい $S$ 全体に対する層条件は、この有限族 $\{f_i\}$ での等化子条件から制限として一意に拡張される。したがって、任意の対象 $Z$ に対して $h_Z$ は $J_{coh}$ の層となり、$J_{coh}$ は劣カノニカル位相であることが示された。証明終
最後に、有限余極限を持つBarr完全圏において、コヒーレント位相が最大の劣カノニカル位相、すなわちカノニカル位相そのものになるための完全な証明を行う。ここでは、一切のギャップを排し、新たに定義した「対象のコンパクト性」と、有効エピふるいの性質を厳密に接続して証明を構成する。
有限余極限を持つBarr完全圏において、圏のすべての対象がコンパクト (compact) であるならば、コヒーレント位相 $J_{coh}$ はカノニカル位相 $J_{can}$ と一致する。
証明:
定理3.1により $J_{coh}$ は劣カノニカル位相であることが示された。カノニカル位相は「すべての劣カノニカル位相を含む最大の位相」として定義されるため、$J_{coh} \subset J_{can}$ であることは自明に成り立つ。したがって、任意のふるい $S \in J_{can}(X)$ に対して、$S \in J_{coh}(X)$ が成り立つこと (すなわち $J_{can} \subset J_{coh}$) を示せば十分である。
以下、論理を飛躍させることなく段階的に証明を構築する。
第1段: $S \in J_{can}(X)$ が結合的に全射であることの証明
$S \in J_{can}(X)$ と仮定する。定義1.4の直観的解説で述べた通り、カノニカル位相の被覆ふるい $S$ は有効エピふるい (effective epimorphic sieve) である。有効エピふるいの厳密な圏論的定義によれば、対象 $X$ は、ふるい $S$ に属するすべての射の定義域 $\mathrm{dom}(f)$ と、それらの間の自然な射をすべて集めた図式の余極限 (colimit) として与えられる。すなわち、$X \cong \mathrm{colim}_{f \in S} \mathrm{dom}(f)$ であり、各 $f: \mathrm{dom}(f) \to X$ はその余極限の普遍的ココーン (universal cocone) を構成する。
この $S$ が結合的に全射 (jointly surjective) であることを背理法で示す。もし結合的に全射でないと仮定すると、定義1.6より、$S$ に属するすべての射 $f \in S$ が共通して経由するような $X$ の「真の部分対象」 $m: M \hookrightarrow X$ が存在する。すなわち、すべての $f \in S$ は $f = m \circ g_f$ （ただし $g_f : \mathrm{dom}(f) \to M$）と分解される。
この分解された射の族 $\{g_f\}_{f \in S}$ は、対象 $M$ を頂点とする新たなココーンを形成する。余極限の普遍性 (universal property) により、余極限である $X$ から $M$ への一意な射 $u: X \to M$ が存在し、すべての $f \in S$ に対して $g_f = u \circ \iota_f$ （ここで $\iota_f$ は余極限への自然な射。実質的に $f$ と同一視できる）を満たす。この構成から、元の余極限ココーンに関して $m \circ u = id_X$ （恒等射）が成立しなければならない。
モノ射 $m$ に対して $m \circ u = id_X$ が成り立つことは、$m$ が分裂エピ射 (split epimorphism) でもあることを意味する。モノ射かつ分裂エピ射である射は同型射 (isomorphism) に他ならない。これは $m$ が真の部分対象であったという仮定に矛盾する。したがって、$S$ は結合的に全射 (jointly surjective) である。
第2段: コンパクト性による有限結合全射部分族の抽出
第1段より、$S = \{f : \mathrm{dom}(f) \to X\}_{f \in S}$ は対象 $X$ に向かう結合的に全射な族である。定理の前提より、対象 $X$ はコンパクト (compact) である。定義1.7に従えば、コンパクトな対象 $X$ に向かう結合的に全射な族 $S$ は、必ずある有限の部分族 $F \subset S$ を含み、その $F$ 単独でも結合的に全射 (jointly surjective) となる。このような有限部分族 $F = \{f_1, \dots, f_n\}$ をとる。
第3段: 有限結合全射族からコヒーレント位相への帰着
有限族 $F = \{f_i\}_{i=1}^n$ を用いて、有限コプロダクト $\coprod_{i=1}^n \mathrm{dom}(f_i)$ を構成する。$\mathcal{C}$ は有限余極限を持つため、この対象は圏内に存在する。このコプロダクトから $X$ への自然な誘導射を $p_F : \coprod_{i=1}^n \mathrm{dom}(f_i) \to X$ とする。
圏 $\mathcal{C}$ はBarr完全圏であるため、正則エピ・モノ分解定理 (定義1.5の条件2) により、この射 $p_F$ は、正則エピ射 $e: \coprod_{i=1}^n \mathrm{dom}(f_i) \to M_F$ とモノ射 $m: M_F \hookrightarrow X$ の合成 $p_F = m \circ e$ へと一意に分解される。
コプロダクト射の定義から、すべての $i$ について $f_i = p_F \circ \iota_i = m \circ (e \circ \iota_i)$ と分解される。これは、有限族 $F$ に含まれるすべての射 $f_i$ が、モノ射 $m: M_F \hookrightarrow X$ を共通して経由することを意味する。
しかし第2段で保証されたように、$F$ は結合的に全射 (jointly surjective) である。結合的に全射の定義より、すべての射が経由するモノ射 $m$ は同型射でなければならない。モノ射 $m$ が同型射であるため、正則エピ射 $e$ との合成である $p_F = m \circ e$ 全体もまた、正則エピ射となる。
これはまさに、「$S$ が、そこから誘導されるコプロダクト射が正則エピ射となるような有限族 $F$ を含む」という事象に他ならず、コヒーレント位相の定義 (定義1.6) を完全に満たす。したがって、$S \in J_{coh}(X)$ が成立する。
ゆえに $J_{can} \subset J_{coh}$ が成立し、両方向の包含関係が示されたため、$J_{can} = J_{coh}$ であることが完全に証明された。証明終